Chào mừng quý vị đến với Website của Nguyễn Cao Cường.

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

Chuyên đề Bất đẳng thức

Wait
  • Begin_button
  • Prev_button
  • Play_button
  • Stop_button
  • Next_button
  • End_button
  • 0 / 0
  • Loading_status
Nhấn vào đây để tải về
Báo tài liệu có sai sót
Nhắn tin cho tác giả
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Cao Cường (trang riêng)
Ngày gửi: 08h:49' 14-01-2009
Dung lượng: 1.2 MB
Số lượt tải: 116
Số lượt thích: 0 người
PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn l­u ý
1-§inh nghÜa


2-tÝnh chÊt

+ A>B 
+ A>B vµ B >C 
+ A>B A+C >B + C
+ A>B vµ C > D  A+C > B + D
+ A>B vµ C > 0  A.C > B.C
+ A>B vµ C < 0  A.C < B.C
+ 0 < A < B vµ 0 < C + A > B > 0  A > B
+ A > B  A > B víi n lÎ
+  >   A > B víi n ch½n
+ m > n > 0 vµ A > 1  A >A
+ m > n > 0 vµ 0 +A < B vµ A.B > 0  

3-mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc

+ A  0 víi A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ An  0 víiA ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+  víi  (dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
+ - < A = 
+  ( dÊu = x¶y ra khi A.B > 0)
+  ( dÊu = x¶y ra khi A.B < 0)
PhÇn II : mét sè ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc

Ph­¬ng ph¸p 1 : dïng ®Þnh nghÜa

KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B
Ta chøng minh A - B > 0
L­u ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M  0 víi( M

VÝ dô 1 ( x, y, z chøng minh r»ng :
a) x + y + z  xy+ yz + zx
b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
c) x + y + z+3  2 (x + y + z)

Gi¶i:

a) Ta xÐt hiÖu
x + y + z- xy – yz - zx
=.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=®óng víi mäi x;y;z
V× (x-y)2 0 víi(x ; y DÊu b»ng x¶y ra khi x=y
(x-z)2 0 víi(x ; z DÊu b»ng x¶y ra khi x=z
(y-z)2 0 víi( z; y DÊu b»ng x¶y ra khi z=y
VËy x + y + z  xy+ yz + zx
DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z
b)Ta xÐt hiÖu
x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x + y + z- 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z) ®óng víi mäi x;y;z
VËy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z
DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z
c) Ta xÐt hiÖu
x + y + z+3 – 2( x+ y +z )
= x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0
DÊu(=)x¶y ra khi x=y=z=1
VÝ dô 2: chøng minh r»ng :
a)  ;b) 
c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n


gi¶i
a) Ta xÐt hiÖu 
=
=
=
VËy 
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b
b)Ta xÐt hiÖu

=
VËy

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c
c)Tæng qu¸t


(Bµi nµy hay phÕt ®Êy, ®õng chñ quan)
Tãm l¹i c¸c b­íc ®Ó chøng minh AB tho ®Þnh nghÜa
B­íc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B
B­íc 2:BiÕn ®æi H=(C+D)hoÆc H=(C+D)+….+(E+F)
B­íc 3:KÕt luËn A ( B

VÝ dô:
Chøng minh (m,n,p,q ta ®Òu cã
m+ n+ p+ q+1( m(n+p+q+1)
Gi¶i:

 (lu«n ®óng)


DÊu b»ng x¶y ra khi 



ph­¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng
L­u ý:
Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®­îc chøng minh lµ ®óng.
Chó ý c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:



VÝ dô 1:
Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng
a) 
b)
c)
Gi¶i:
a) 

 (bÊt ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng)
VËy (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a=b)
b) 


 BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng.
VËy 
DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=1
c) 



BÊt ®¼ng thøc ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 2:
Chøng minh r»ng: 
Gi¶i:
 
 
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0
BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y
Chøng minh 
Gi¶i:
 v× :xy nªn x- y  0
x2+y2 ( x-y)
 x2+y2-  x+y 0 x2+y2+2-  x+y -2 0
 x2+y2+()2-  x+y -2xy 0 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2
(x-y-)2  0 §iÒu nµy lu«n lu«n ®óng . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh
VÝ dô 4:
1)CM: P(x,y)= 
2)CM: 
(gîi ý :b×nh ph­¬ng 2 vÕ)
3)Cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n:

Chøng minh r»ng :cã ®óng mét trong ba sè x,y,z lín h¬n 1
Gi¶i:
XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (v×< x+y+z theo gt)
2 trong 3 sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d­¬ng.
NÕñ tr­êng hîp sau x¶y ra th× x, y, z >1 x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc ph¶i x¶y ra tr­êng hîp trªn tøc lµ cã ®óng 1 trong ba sè x ,y ,z lµ sè lín h¬n 1

Ph­¬ng ph¸p 3:
dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc

A/ mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng
1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô:
a) 
b)  dÊu( = ) khi x = y = 0
c) 
d)
2)BÊt ®¼ng thøc C« si:  Víi 
(§èi víi B§T C« si, ThÇy cã mét chuyªn ®Ò c¸c kü thuËt ¸p dông, nÕu cÇn cø alo råi tù ®i mµ photo)
3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski

4) BÊt ®¼ng thøc Trª- b­-sÐp:
NÕu   
NÕu   
DÊu b»ng x¶y ra khi
Ngoµi ra cßn cã c¶ ®èng bÊt ®¾ng thøc kh¸c.
b/ c¸c vÝ dô
vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Gi¶i:
C¸ch 1:Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: 
Tacã ;  ; 

(a+b)(b+c)(c+a)8abc
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c
vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 
2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z
3)Cho a>0 , b>0, c>0
CMR: 
4)Cho x,y tháa m·n  ;CMR: x+y
vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ chøng minh r»ng


Gi¶i:
Do a,b,c ®èi xøng ,gi¶ sö abc  
¸p dông B§T Trª- b­-sÐp ta cã

==
VËy  DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=
 vÝ dô 4:
Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

Gi¶i:
Ta cã 

Do abcd =1 nªn cd = (dïng )
Ta cã  (1) MÆt kh¸c: 
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
VËy
 vÝ dô 5: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
tacã ac+bd
mµ 


 vÝ dô 6: Chøng minh r»ng

Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski
C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã

 3
 §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c

VËy ®iÒu rót ra lµ g×? ¸p dông B§T Bu th× cÊn chän bé sè hîp lÝ

Ph­¬ng ph¸p 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu

L­u ý: A>B vµ b>c th× A>c
0< x <1 th× xvÝ dô 1:
Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d
Chøng minh r»ng ab >ad+bc
Gi¶i:
Tacã   
 (a-c)(b-d) > cd
 ab-ad-bc+cd >cd
 ab> ad+bc (®iÒu ph¶i chøng minh)
vÝ dô 2:
Cho a,b,c>0 tháa m·n 
Chøng minh 
Gi¶i:
Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0
 ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
 ac+bc-ab  1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã  
vÝ dô 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Gi¶i:
Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nªn ab>0
 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã
(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(§iÒu ph¶i chøng minh)
vÝ dô 4
1- Cho 0 
Gi¶i :
Do a < 1   vµ
Ta cã   1-b-+b > 0
 1+ >  + b



mµ 0< a,b <1   > ,  > 
Tõ (1) vµ (2)  1+> +
VËy + < 1+
T­¬ng tù +
+( 
Céng c¸c bÊt ®¼ng thøc ta cã :

b)Chøng minh r»ng : NÕu  th× (ac+bd (=1998
Gi¶i:
Ta cã (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
rá rµng (ac+bd)2  
 
2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ...;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ....+a2003 =1
c høng minh r»ng : a+
2,Cho a;b;c  tháa m·n :a+b+c=1(?)
Chøng minh r»ng: (

Ph­¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè

KiÕn thøc
1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d­¬ng th×
a ) NÕu  th× 
b ) NÕu  th× 
2)NÕu b,d >0 th× tõ

`
vÝ dô 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng
 
Gi¶i :
Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã
 (1)
MÆt kh¸c :  (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã

 < < (3)
T­¬ng tù ta cã
 (4)
 (5)
 (6)
céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã
 ®iÒu ph¶i chøng minh
(Xo¾n nh­ng mµ hay)
vÝ dô 2 :
Cho:< vµ b,d > 0 .Chøng minh r»ng <
Gi¶i: Tõ < 
VËy < ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d­¬ng tháa m·n :
a+b = c+d =1000 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö :  Tõ :  
 v× a+b = c+d
a,
 
Gửi ý kiến